Công Thức Toán 10 Học Kì 2

Tổng hợp kỹ năng cần cầm vững, các dạng bài bác tập và thắc mắc có kỹ năng xuất hiện tại trong đề thi HK2 Toán học 10 sắp đến tới

Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình và hệ bất phương trình

Các phép thay đổi bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định bên trên D thì P(x) 0, (forall )x ( in ) D thì P(x) Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) ( ge )0 và Q(x) ( ge )0, (forall )x ( in ) D thì P(x) 0 ta có:

(left| f(x) ight| le a Leftrightarrow - a le f(x) le a)

(left| f(x) ight| ge a Leftrightarrow left< eginarraylf(x) le - a\f(x) ge aendarray ight.)

3. Phương trình và hệ bất phương trình hàng đầu hai ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ( le c) (1) ((a^2 + b^2)( e 0))

Bước 1: trong mp Oxy, vẽ đường thẳng ((Delta )): ax + by ( = c)

Bước 2: Lấy (M_o(x_o;y_o) otin (Delta )) (thường lấy (M_o equiv O))

Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.

Bạn đang xem: Công thức toán 10 học kì 2

Bước 4: Kết luận

Nếu axo + byo o là miền nghiệm của ax + by ( le c)

Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ((Delta )) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ( le c)

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by c)được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình vào hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Xem thêm: Hướng Dẫn 10 Cách Bói Tình Yêu Bằng Bài Tarot, Cách Bói Bài Tình Yêu Chinh Xac

Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt vào hệ bên trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại ko bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.

4. Lốt của tam thức bậc hai

a. Định lí về lốt của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc nhì f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2 – 4ac

* nếu như (Delta )0), (forall )x( in )R

* ví như (Delta )= 0 thì f(x) thuộc dấu với hệ số a (a..f(x)>0), (forall )x( e )(frac - b2a)

* nếu (Delta )> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a lúc x 1 hoặc x > x2; f(x) trái vết với thông số a khi x1 2. (Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x12)

Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2– 4ac > 0

b. Lốt của nghiệm số

Cho f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0

a) ax2 + bx + c = 0 tất cả nghiệm ( Leftrightarrow )(Delta )= b2– 4ac ( ge )0

b) ax2 + bx + c = 0 gồm 2 nghiệm trái dấu ( Leftrightarrow )a.c 2 + bx + c = 0 tất cả 2 nghiệm cùng dấu ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\a.c > 0endarray ight.)

c) ax2 + bx + c = 0 có những nghiệm dương ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba > 0endarray ight.)

d) ax2 +bx +c = 0 có những nghiệm âm ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba Chú ý: dấu của tam thức bậc hai luôn luôn luôn thuộc dấu với hệ số a khi (Delta 2 +bx +c >0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta 2 +bx +c 2 +bx +c ( ge )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta le 0endarray ight.)

iv) ax2 +bx +c ( le )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla 0 (Hoặc f(x) ( ge )0, f(x) 2 + bx + c, a( e )0 )

b. Biện pháp giải:

Để giải bất pt bậc hai, ta vận dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bởi f(x), rồi xét dấu f(x)

Bước 2: phụ thuộc bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt

Phần 2

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1. Các hệ thức lượng giác cơ bản

(eginarrayl1)sin ^2alpha + cos ^2alpha = 1\2) an alpha = fracsin alpha cos alpha left( alpha e fracpi 2 + kpi ight)\3)cot alpha = fraccos alpha sin alpha left( alpha e kpi ight)endarray)

(eginarrayl4)1 + an ^2alpha = frac1cos ^2alpha (alpha e fracpi 2 + kpi )\5)1 + cot ^2alpha = frac1sin ^2alpha (alpha e kpi )\6) an alpha .cot alpha = 1(alpha e frackpi 2)endarray)

2. Giá trị lượng giác của góc (cung) có tương quan đặc biệt

(eginarraylsin alpha = sin left( alpha + k2pi ight)\cos alpha = cos left( alpha + k2pi ight)endarray)

(eginarrayl an alpha = an left( alpha + kpi ight)\cot alpha = cot left( alpha + kpi ight)endarray)

+) Góc đối nhau ((alpha ) và ( - alpha ))

(cos ( - alpha ),, = ,,cos alpha )

(sin ( - alpha ),, = ,, - sin alpha )

( an ( - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot ( - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc bù nhau ((alpha ) và (pi - alpha ))

(sin (pi - alpha ),, = ,,sin alpha )

(cos (pi - alpha ),, = ,, - cos alpha )

( an (pi - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot (pi - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc phụ nhau((alpha ) và (fracpi 2 - alpha ))

(sin left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cos alpha )

(cos left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,sin alpha )

( an left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cot alpha )

(cot left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,, an alpha )

3. Phương pháp cộng

(eginarraylsin (a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a\sin (a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a\cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b\cos (a - b) = cos a.cos b + sin a.sin bendarray)

(eginarrayl an (a + b) = frac an a + an b1 - an a. an b\ an (a - b) = frac an a - an b1 + an a. an bendarray)

4. Bí quyết nhân đôi, hạ bậc

a) cách làm nhân đôi

(sin 2alpha = 2sin alpha .cos alpha )

(eginarraylcos 2alpha \ = cos ^2alpha - sin ^2alpha ,\ = 2cos ^2alpha - 1\ = ,,1 - 2sin ^2alpha endarray)

( an 2alpha ,, = ,,frac2 an alpha 1 - an ^2alpha )

b) cách làm hạ bậc

(eginarraycsin ^2alpha ,, = ,,frac1 - cos 2alpha 2\cos ^2alpha , = ,,frac1 + cos 2alpha 2\ an ^2alpha , = ,,frac1 - cos 2alpha 1 + cos 2alpha endarray)

5. Công thức biến hóa tích thành tổng

(eginarraylcos acos b = frac12left< cos (a + b) + cos (a - b) ight>\sin asin b = - frac12left< cos (a + b) - cos (a - b) ight>\sin acos b = frac12left< sin (a + b) + sin (a - b) ight>endarray)

6. Công thức biển thay đổi tổng thành tích

(eginarraylcos a + cos b = 2cos fraca + b2.cos fraca - b2\cos a - cos b = - 2sin fraca + b2.sin fraca - b2\sin a + sin b = 2sin fraca + b2.cos fraca - b2\sin a - sin b = 2cos fraca + b2.sin fraca - b2endarray)

(eginarrayl an a + an b = fracsin (a + b)cos a.cos b\ an a - an b = fracsin (a - b)cos a.cos b\cot a + cot b = fracsin (a + b)sin a.sin b\cot a - cot b = fracsin (b - a)sin a.sin bendarray)

Phần 3

HÌNH HỌC

1. Hệ thức lượng trong tam giác

a. Các hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC tất cả BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến đường AM = (m_a), BN = (m_b), CP = (m_c)

Định lý cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

Hệ quả:

cosA = (fracb^2 + c^2 - a^22bc)

cosB = (fraca^2 + c^2 - b^22ac)

cosC = (fraca^2 + b^2 - c^22ab)

Định lý sin

(fracasin A = fracbsin B = fraccsin C)= 2R

(với R là bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC )

b. Độ dài mặt đường trung đường của tam giác

(m_a^2 = fracb^2 + c^22 - fraca^24 = frac2(b^2 + c^2) - a^24);

(m_b^2 = fraca^2 + c^22 - fracb^24 = frac2(a^2 + c^2) - b^24)

(m_c^2 = fracb^2 + a^22 - fracc^24 = frac2(b^2 + a^2) - c^24)

c. Những công thức tính diện tích tam giác

S = (frac12)aha = (frac12)bhb  = (frac12)chc

S = (frac12)ab.sinC = (frac12)bc.sinA = (frac12)ac.sinB

S = (fracabc4R)

S = pr

S = (sqrt p(p - a)(p - b)(p - c) ) cùng với (p = frac12(a + b + c) )

2. Phương trình đường thẳng

* Để viết được phương trình mặt đường thẳng dạng tham số nên biết được toạ độ 1 điều và 1 vectơ chỉ phương

* Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần phải biết được toạ độ một điểm và 1 vectơ phát tuyến

a. Phương trình tham số của mặt đường thẳng d

(left{ eginarray*20cx = x_0 + tu_1\y = y_0 + tu_2endarray ight.) cùng với M ((x_0;y_0))(in d) với (vec u = (u_1;u_2)) là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình tổng thể của đường thẳng d

a(x – (x_0)) + b(y – (y_0)) = 0 giỏi ax + by + c = 0

(với c = – a(x_0)– b(y_0) và a2 + b2 ( e) 0) trong kia M ((x_0;y_0)) (in d) và (vec n = (a;b)) là vectơ pháp con đường (VTPT)

+) Phương trình đường thẳng giảm hai trục tọa độ tại hai điểm A(a; 0) cùng B(0; b) cùng với (ab e 0) là: (fracxa + fracyb = 1)

+) Phương trình con đường thẳng trải qua điểm M ((x_0;y_0)) có hệ số góc k  có dạng: y – (y_0)= k (x – (x_0))

c. Khoảng cách từ mội điểm M ((x_0;y_0)) mang đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 được xem theo công thức:

d(M; d) = (fracsqrt a^2 + b^2 )

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

(Delta _1): (a_1x + b_1y + c_1)= 0

(Delta _2): (a_2x + b_2y + c_2)= 0

(Delta _1) cắt (Delta _2)( Leftrightarrow ) (fraca_1a_2 e fracb_1b_2);

Tọa độ giao điểm của (Delta _1)và (Delta _2) là nghiệm của hệ (left{ eginarrayla_1x + b_1y + c_1 m = 0\a_2x + b_2y + c_2 m = 0 endarray ight.)

(Delta _1)//(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 e fracc_1c_2)

(Delta _1)( equiv )(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 = fracc_1c_2) (với (a_2),(b_2),(c_2)khác 0)

3. Đường tròn

a. Phương trình mặt đường tròn trung khu I(a; b) bán kính R gồm dạng:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

với c = a2 + b2 – R2

+) Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình mặt đường tròn trung khu I(a; b) bán kính R

+) Vị trí kha khá của mặt đường thẳng và con đường tròn

d cắt ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) R

d tiếp xúc với ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) = R

b. Phương trình tiếp đường với mặt đường tròn

Dạng 1: Điểm A thuộc đường tròn

Dạng 2: Điểm A không thuộc đường tròn

Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến của mặt đường tròn vuông góc hay song song với cùng một đường thẳng nào đó

4. Phương trình Elip

a. vào mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một số trong những a (a > c > 0, a = const).

Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Hay (E) =( M/F_1M + F_2M = 2a )

b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1) (a2 = b2 + c2)

c. Các thành phần của elip (E) là:

Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b)

Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b

Tiêu cự F1F2 = 2c

d. Hình dạng của elip (E)

+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có trọng tâm đối xứng là gốc tọa độ

+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm vào hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ( pm )a, y = ( pm )b